Planímetro

Planímetro

Para los casos en los que se necesita calcular superficies irregulares o en perspectiva, como mapas o manchas la geometría clásica o incluso la geometría analítica no son suficientes y no prestan mayor utilidad. Por ello es necesario recurrir a una herramienta de medición específica para tal fin, el planímetro es una buena y fácil alternativa.

Entonces...

¿Qué es un planímetro?

El planímetro es un aparato de medición utilizado para el cálculo de áreas irregulares que están representadas en un mapa, que es demasiado compleja para la medición manual. Esta superficie puede ser una mancha de escasos centímetros cuadrados a escala 1:1 o un gran jardín a escala 1:1000 dibujado en un plano. 


Un poco acerca de su historia

El primer planímetro (tipo ortogonal) parece haber sido el diseñado por Johann Martin Hermann en 1814 y luego construido en 1817. Esto fue seguido por el de Livorno Tito Gonnella (1794-1867), quien en 1825 publicó su propia invención. Ambos pasaron casi desapercibidos y hubo que esperar hasta 1849/50 para que el ingeniero suizo Kaspar Wetli (1822 - 1889) reinventara e introdujera definitivamente este tipo de instrumento en el mercado.

El planímetro polar es el más utilizado y, por lo tanto, son diferentes los tipos fabricados: introducido en 1858 por el suizo matemático Jakob Amsler-Laffon, el planímetro polar es más preciso y confiable que los anteriores planímetros ortogonales.

Desde entonces ha variado muy poco, de tal modo que incluso los planímetros electrónicos actuales siguen el mismo diseño.

Funcionamiento

Fue ampliamente utilizado en todas las aplicaciones técnico-científicas que requieren la medición de un área irregular, desde la ingeniería biomédica ingeniería a la topografía a la medición de la piel. 

En el caso del campo cartográfico, un planímetro se puede usar en un área física pequeña, se usa más comúnmente en una representación a escala, como un mapa.


Partes de un planímetro

Los planímetros son instrumentos delicados que deben ser ajustados regularmente para asegurar la exactitud de la medida. Además cada unidad tiene una calibración propia, de modo que no hay dos planímetros iguales.

Consta de las siguientes partes:

  1. -Un polo que se fija en su posición encima del papel con una aguja fina (brazo de sujeción).
  1. -Un brazo polar, el cual se pivotea en un extremo sobre el polo y sobre el otro en la unidad integradora.
  1. -Un brazo trazador (que puede ser de longitud fija o variable) unido aun extremo a la unidad integradora y que en el otro extremo presenta el punto trazador o trazador óptico (brazo polar rastreador). 
  1. -Una unidad de medición que consta de un disco integrador de acero endurecido sobre pivotes, conectado al eje del disco, está un tambor primario dividido en 100 para obtener lecturas de 1000 de revolución del disco integrador mediante una marca de índice o un vernier sobre un tambor opuesto. Otro indicador proporciona el número de revoluciones completas en el disco.
¿Cómo se utiliza?

La manera más recomendable de utilizar un planímetro es con el polo afuera de la figura por medirse, el procedimiento para medir cualquier área es el siguiente:

  • Colocar el polo fuera del área en tal posición que el punto trazador alcance cualquier parte del perímetro.
  • Leer el vernier con el punto trazador sobre un punto conocido en el perímetro.
  • Mover el punto trazador en el sentido de las manecillas del reloj, alrededor del perímetro hasta el punto conocido y leer de nuevo el vernier.
  • La diferencia entre las dos lecturas, multiplicado por el factor de escala, proporciona el área.

El área se calcula según la ecuación: A = KL

Donde A = área

K = escala del mapa

L = lecturas del promedio con el perímetro, de la figura cuya área se desea conocer.

  • Repetir el procedimiento hasta obtener 3 valores consistentes y considerar la media de estos. 

Una de las condiciones para que esta técnica sea más precisa es que los brazos formen un ángulo casi recto al principiar la operación. Si la forma de la figura estos quedaran a menos de 45º, sería preferible dividir la superficie en dos o más porciones y determinar cada sub-área por separado, movimiento el polo del aparato cada vez a una nueva posición.


La clave para la operación de un planímetro es el teorema de Green, que lleva el nombre del matemático británico George Green. Como explicación algo simplificada, el uso del teorema funciona dividiendo un área en tantos rectángulos como quepan. Las áreas restantes consistirán en el borde recto de un rectángulo y un borde curvo a lo largo del exterior del área.

Calcular las áreas de los rectángulos sería lo suficientemente simple para el cálculo humano. Sin embargo, calcular el área de las secciones curvas es más complicado. El teorema de Green utiliza la información disponible para calcular el área de estas secciones. Si bien es comparativamente simple para los estándares de cálculo, el teorema de Green sería tan complicado y lento de usar que lo haría poco práctico para el cálculo humano de un área.


Tipos de planímetro

Existen dos tipos:

Planímetro mecánico o polar

Un planímetro polar consta de dos brazos que se articulan entre sí. El brazo polar se apoya y articula en un punto fijo o polo y el brazo trazador en una rueda medidora. La rueda está acoplada a un medidor de revoluciones digital, a través de una pantalla conocemos la cantidad de las mismas.

En su forma más común, un planímetro polar, se asemeja a un brazo humano desde el hombro hasta la muñeca. El "hombro" suele ser un cilindro de metal que se fija en su posición pero puede girar. La "muñeca" es un puntero móvil que se usa para trazar alrededor del área. El "codo" es una bisagra que puede moverse en ambas direcciones.

Planímetro digital

Instrumento que sirve para medir las áreas de los mapas o planos y, en general, de las superficies planas. Se llama integrador mecánico y posee una punta exploradora que se hace recorrer por el perímetro de la superficie a medir dos veces. La lectura es numérica, apareciendo en forma de dígitos en un pequeño monitor.


En conclusión, un planímetro puede usarse para medir áreas bidimensionales de tamaño natural. Su utilización se da en diversos sectores científicos y prácticos. En realidad, un planímetro se usa normalmente en un dibujo a escala del área. Esto a menudo puede implicar medir un área de tierra mediante el uso de un planímetro en un mapa. Por lo investigado también puede ser utilizado por un dibujante en los planos de un edificio.


Referencias bibliográficas

Siacara Wiler. (2013). Tipos y usos del planímetro [en línea]. [Consultado: el 18 de octubre de 2021].  Recuperado de: https://es.scribd.com/doc/187623639/TIPOS-Y-USOS-DEL-PLANIMETRO-EN-LA

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Gisiberica (s.f.). Planímetro, medición de superficies. gisiberica.com [en línea]. [Consultado: el 18 de octubre de 2021].  Recuperado de: http://www.gisiberica.com/Plan%EDmetros/planimetro%20medicion.htm


Realizado por: Marcos Caballero.

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